Diskret matematikk: Det de tjener, Theory of Sets

Den diskrete matematikken tilsvarer et område av matematikk som er ansvarlig for å studere settet med naturlige tall; det vil si settet av endelige og uendelige tellbare tall hvor elementene kan telles separat, en etter en.

Disse settene er kjent som diskrete sett; Et eksempel på disse settene er hele tall, grafer eller logiske uttrykk, og de brukes i ulike fagområder, hovedsakelig i databehandling eller databehandling.

beskrivelse

I diskrete matematikk prosesser er tellbare, basert på hele tall. Dette betyr at desimaltall ikke benyttes, og derfor benyttes ikke tilnærmingen eller grensene som i andre områder. For eksempel kan en ukjent være lik 5 eller 6, men aldri 4, 99 eller 5, 9.

På den annen side vil variablene i den grafiske representasjonen være diskrete og gis fra et begrenset sett poeng som teller en etter en, som vist i bildet:

Den diskrete matematikken er født av behovet for å få en eksakt studie som kan kombineres og testes, for å anvende den på forskjellige områder.

Hva er bruk av diskret matematikk?

Diskret matematikk brukes i flere områder. Blant de viktigste er følgende:

kombi

Undersøk endelig sett hvor elementene kan bestilles eller kombineres og telles.

Teori om diskret distribusjon

Studiehendelser som forekommer i rom hvor prøver kan telles, hvor kontinuerlige fordeling brukes til å tilnærme diskrete fordelinger, eller på motsatt måte.

Teori om informasjon

Det refererer til koding av informasjon som brukes til utforming og overføring og lagring av data, som for eksempel analoge signaler.

databehandling

Gjennom diskrete matematikkproblemer løses ved hjelp av algoritmer, samt å studere hva som kan beregnes og hvor lang tid det tar å gjøre det (kompleksitet).

Betydningen av diskret matematikk på dette området har økt de siste tiårene, spesielt for utviklingen av programmeringsspråk og programvare .

kryptografi

Den er basert på diskret matematikk for å skape sikkerhetsstrukturer eller krypteringsmetoder. Et eksempel på denne applikasjonen er passord, sender separate biter som inneholder informasjon.

Gjennom studien kan egenskapene til heltall og primtall (tallteori) skape eller ødelegge disse sikkerhetsmetodene.

logikk

Diskrete strukturer blir brukt, som vanligvis danner et begrenset sett, for å bevise teorier eller for eksempel verifisere programvare.

Grafteori

Det tillater oppløsning av logiske problemer ved å bruke noder og linjer som danner en type graf, som vist i følgende bilde:

Det er et område nært knyttet til diskret matematikk fordi de algebraiske uttrykkene er diskrete. Gjennom dette utvikles elektroniske kretser, prosessorer, programmering (boolsk algebra) og databaser (relasjonsalgebra).

geometri

Undersøk de kombinatoriske egenskapene til geometriske objekter, som belegget av flyet. På den annen side gjør beregnings geometri det mulig å utvikle geometriske problemer ved å anvende algoritmer.

Teorien til settene

I diskrete matematikk sett (endelig og uendelig nummerbar) er hovedmål for studiet. Teorien om sett ble publisert av George Cantor, som viste at alle uendelige sett har samme størrelse.

Et sett er en gruppering av elementer (tall, ting, dyr og mennesker, blant andre) som er godt definert; det vil si at det er et forhold hvor hvert element tilhører et sett, og uttrykkes for eksempel til ∈ A.

I matematikk er det forskjellige sett som grupperer bestemte tall i henhold til deres egenskaper. Så, for eksempel, har du:

- Sett med naturlige tall N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞}.

- Sett med heltall E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞}.

- Undergruppe av rasjonelle tall Q * = {-∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞}.

- Sett med ekte tall R = {-∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞}.

Settene er navngitt med bokstaver i alfabetet, kapitalisert; mens elementene er oppkalt med små bokstaver, innebærer braces ({}) og adskilt av kommaer (, ). De er vanligvis representert i diagrammer som Venn og Caroll, så vel som beregningsmessig.

Med grunnleggende operasjoner som forening, kryss, komplement, forskjell og kartesisk produkt, styres settene og elementene deres, basert på tilhørighetsforholdet.

Det er flere typer sett, de mest studerte i diskret matematikk er følgende:

Endelig sett

Det er en som har et begrenset antall elementer og som tilsvarer et naturlig tall. Således er A = {1, 2, 3, 4} for eksempel et endelig sett som har 4 elementer.

Uendelig regnskapssett

Det er den der det er en korrespondanse mellom elementene i et sett og de naturlige tallene; det vil si at fra et element alle elementene i et sett kan listes suksessivt.

På denne måten vil hvert element svare til hvert element i settet med naturlige tall. For eksempel:

Settet med hele tallene Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} kan listes som Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...}. På denne måten er det mulig å lage en en-til-en korrespondanse mellom elementene i Z og de naturlige tallene, som vist i følgende bilde:

Det er en metode som brukes til å løse løpende problemer (modeller og ligninger) som må omdannes til diskrete problemer, hvor løsningen er kjent ved tilnærming av løsningen av det kontinuerlige problemet.

Sett på en annen måte, prøver diskretisering å trekke ut en endelig mengde fra et uendelig sett med poeng; På denne måten blir en kontinuerlig enhet omformet til individuelle enheter.

Vanligvis brukes denne metoden i numerisk analyse, som for eksempel i løsningen av en differensialekvasjon, ved hjelp av en funksjon som er representert av en endelig mengde data i sitt domene, selv når det er kontinuerlig.

Et annet eksempel på diskretisering er dets bruk for å konvertere et analogt signal til digitalt, når kontinuerlige enheter av signal konverteres til individuelle enheter (de diskretiseres), og deretter kodet og kvantisert for å oppnå et digitalt signal.