Hvor mange løsninger har en kvadratisk ligning?

En kvadratisk ligning eller andre gradekvasjon kan ha null, en eller to virkelige løsninger, avhengig av koeffisientene som vises i nevnte ligning.

Hvis du jobber med komplekse tall, kan du si at hver kvadratisk ligning har to løsninger.

For å starte en kvadratisk ligning er en ligning av formen ax² + bx + c = 0, hvor a, b og c er reelle tall og x er en variabel.

Det sies at x1 er en løsning av den forrige kvadratiske ligningen hvis erstatning x ved x1 tilfredsstiller ligningen, det vil si hvis a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Hvis du for eksempel har ligningen x²-4x + 4 = 0, så er x1 = 2 løsningen siden (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Tvert imot, hvis x2 = 0 er erstattet, oppnår vi (0) ²-4 (0) + 4 = 4 og som 4 ≠ 0 så er x2 = 0 ikke en løsning av kvadratisk ligning.

Løsninger av en kvadratisk ligning

Antallet av løsninger av en kvadratisk ligning kan skilles i to tilfeller som er:

1.- I ekte tall

Når du arbeider med ekte tall, kan kvadratiske ligninger ha:

- Løsninger: det vil si, det er ingen ekte tall som tilfredsstiller kvadratisk ligning. For eksempel er ligningen gitt av ligningen x² + 1 = 0 det ikke noe reelt tall som tilfredsstiller denne ligningen, siden begge x² er større enn eller lik null og 1 er strengere enn null slik at summen blir større streng som null.

- En gjentatt løsning: Det er en enkelt reell verdi som tilfredsstiller kvadratisk ligning. For eksempel er den eneste løsningen til ligningen x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.

-Two forskjellige løsninger: det er to verdier som tilfredsstiller kvadratisk ligning. For eksempel har x² + x-2 = 0 to forskjellige løsninger som er x1 = 1 og x2 = -2.

2.- I komplekse tall

Ved arbeid med komplekse tall har de kvadratiske ligningene alltid to løsninger som er z1 og z2 hvor z2 er konjugatet til z1. I tillegg kan de bli klassifisert i:

Komplekser: løsningene er av formen z = p ± qi, hvor p og q er reelle tall. Denne saken tilsvarer det første tilfellet av den forrige listen.

Rene komplekser: Når den virkelige delen av løsningen er lik null, dvs. løsningen har skjemaet z = ± qi, hvor q er et reelt tall. Denne saken tilsvarer det første tilfellet av den forrige listen.

- Komplekser med imaginær del lik null: Når den komplekse delen av løsningen er lik null, dvs. løsningen er et reelt tall. Denne saken tilsvarer de to siste tilfellene i forrige liste.

Hvordan beregnes løsningene av en kvadratisk ligning?

For å beregne løsningene av en kvadratisk ligning, brukes en formel kjent som "resolveren", som sier at løsningene av en ligning ax² + bx + c = 0 er gitt ved uttrykket av følgende bilde:

Mengden som vises i kvadratroten kalles diskriminanten av kvadratisk ligning og er betegnet med bokstaven "d".

Den kvadratiske ligningen vil ha:

-Two virkelige løsninger hvis, og bare hvis, d> 0.

-En reell løsning gjentas hvis, og bare hvis, d = 0.

-Five ekte løsninger (eller to komplekse løsninger) hvis, og bare hvis, d <0.

eksempler:

-Løsningene til ligningen x² + x-2 = 0 er gitt av:

-Likningen x²-4x + 4 = 0 har en gjentatt løsning som er gitt av:

-Løsningene til ligningen x² + 1 = 0 er gitt av:

Som det kan ses i dette siste eksempelet, er x2 konjugatet til x1.