Hva er de samtidige ligningene? (med løste øvelser)

De samtidige ligningene er de ligningene som må oppfylles samtidig. For å ha samtidige likninger må man derfor ha mer enn en ligning.

Når du har to eller flere forskjellige ligninger, som må ha samme løsning (eller de samme løsningene), sier du at du har et system av ligninger eller du sier at du har samtidige likninger.

Når du har samtidige ligninger, kan det hende at de ikke har felles løsninger eller har en endelig mengde eller har en uendelig mengde.

Samtidige ligninger

Gitt to forskjellige ligninger Eq1 og Eq2, har vi at systemet av disse to ligningene kalles samtidige ligninger.

De samtidige ligningene oppfyller at hvis S er en løsning av Eq1, er S også en løsning av Eq2 og vice versa

funksjoner

Når det gjelder et system med samtidige ligninger kan du ha 2 ligninger, 3 ligninger eller N ligninger.

De vanligste metodene som brukes til å løse samtidige ligninger er: substitusjon, utjevning og reduksjon. Det er også en annen metode kalt Cramer's regel, som er veldig nyttig for systemer med mer enn to samtidige ligninger.

Et eksempel på samtidige ligninger er systemet

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Det kan bemerkes at x = 0, y = 2 er en løsning av Eq1, men det er ikke en løsning av Eq2.

Den eneste vanlige løsningen som begge ligningene har, er x = 1, y = 1. Det vil si, x = 1, y = 1 er løsningen av systemet med samtidige ligninger.

Løste oppgaver

Fortsett deretter å løse systemet med samtidige ligninger vist ovenfor, gjennom de tre nevnte metodene.

Første øvelse

Løs systemet av ligninger Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 ved hjelp av substitusjonsmetoden.

oppløsning

Substitusjonsmetoden består i å rydde en av ukjentene til en av ligningene og deretter erstatte den i den andre ligningen. I dette tilfellet kan du fjerne «y» fra Eq1 og du får det y = 2-x.

Ved å erstatte denne verdien av «y» i Eq2, oppnås det at 2x- (2-x) = 1. Derfor får vi det 3x-2 = 1, det vil si x = 1.

Da, siden verdien av x er kjent, er den erstattet i "y" og y = 2-1 = 1 er oppnådd.

Derfor er den eneste løsningen av systemet med samtidige ligninger Eq1 og Eq2 x = 1, y = 1.

Second Exercise

Løs systemet av ligninger Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 ved hjelp av utjevningsmetoden.

oppløsning

Utjevningsmetoden består i å rydde det samme spørsmålet fra begge ligningene og deretter utjevne de resulterende ligningene.

Ved å fjerne "x" fra begge ligningene, oppnår vi at x = 2-y, og at x = (1 + y) / 2. Nå er disse to ligningene likestilt, og vi får det 2-y = (1 + y) / 2, der det viser seg at 4-2y = 1 + y.

Gruppering av det ukjente "y" på samme side resulterer i y = 1. Nå som vi vet "og", fortsetter vi å finne verdien av "x". Ved å erstatte y = 1, oppnår vi at x = 2-1 = 1.

Derfor er den vanlige løsningen mellom ligningene Eq1 og Eq2 x = 1, y = 1.

Tredje øvelse

Løs systemet av ligninger Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 ved hjelp av reduksjonsmetoden.

oppløsning

Reduksjonsmetoden består i å multiplisere likningene gitt av de riktige koeffisientene, slik at når man legger til disse likningene, avbrytes en av variablene.

I dette spesielle eksempelet trenger du ikke å multiplisere noen ligning med noen koeffisient, bare legg dem sammen. Når du legger til Eq1 pluss Eq2 får vi det 3x = 3, hvorfra vi oppnår at x = 1.

Når vi vurderer x = 1 i Eq1, får vi det 1 + y = 2, hvor det viser seg at y = 1.

Derfor er x = 1, y = 1 den eneste løsningen av de samtidige ligningene Eq1 og Eq2.

Fjerde øvelse

Løs systemet med samtidige ligninger Eq1: 2x-3y = 8 og Eq2: 4x-3y = 12.

oppløsning

I denne øvelsen er det ikke nødvendig med en bestemt metode, derfor kan metoden som er mest behagelig for hver leser brukes.

I dette tilfellet vil reduksjonsmetoden bli brukt. Multiplikasjon Eq1 med -2 gir ligningen Eq3: -4x + 6y = -16. Nå legger Eq3 og Eq2 3y = -4, derfor y = -4 / 3.

Nå, når vi vurderer y = -4 / 3 i Eq1, får vi det 2x-3 (-4/3) = 8, hvor 2x + 4 = 8, derfor x = 2.

Til slutt er den eneste løsningen av systemet med samtidige ligninger Eq1 og Eq2 x = 2, y = -4 / 3.