Hvilke typer integrasjoner er der?
De typer integralene som vi finner i beregningen er: Ubestemte integraler og definerte integraler. Selv om bestemte integraler har mange flere programmer enn ubestemte integraler, er det først nødvendig å lære å løse ubestemte integraler.
En av de mest attraktive applikasjonene av bestemte integraler er beregningen av volumet av et solidt revolusjon.
Begge typer integraler har de samme egenskapene til linearitet, og integrasjonsteknikker er ikke avhengige av typen integral.
Men til tross for at det er veldig lik, er det en stor forskjell; I den første typen integral er resultatet en funksjon (som ikke er spesifikk), mens i den andre typen er resultatet et tall.
To grunnleggende typer integraler
Integralens verden er veldig bred, men innenfor dette kan vi skille mellom to grunnleggende typer integraler, som har stor anvendelighet i hverdagen.
1- Ubestemte integraler
Hvis F '(x) = f (x) for alle x i domenet til f, sier vi at F (x) er en antiderivativ, en primitiv eller en integral av f (x).
På den annen side, observer at (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), noe som innebærer at integralet av en funksjon ikke er unikt, siden vi gir forskjellige verdier til konstanten C, vil vi oppnå forskjellig du primitiv funksjon.
Av denne grunn kalles F (x) + C den ubestemte integral av f (x) og C kalles integrasjonskonstant og vi skriver den på følgende måte
Som vi kan se, er ubestemt integral av funksjonen f (x) en familie av funksjoner.
For eksempel, hvis du vil beregne ubestemt integral av funksjonen f (x) = 3x², må du først finne en antivivativ av f (x).
Det er lett å legge merke til at F (x) = x³ er en antivivativ, siden F '(x) = 3x². Derfor kan det konkluderes med at
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Definerte integraler
La y = f (x) være en faktisk funksjon, kontinuerlig i et lukket intervall [a, b] og la F (x) være en antivivativ av f (x). Det kalles det bestemte integralet av f (x) mellom grensene a og b og tallet F (b) -F (a), og betegnes som følger
Formelen vist ovenfor er bedre kjent som "The Basic Theorem of Calculus." Her kalles "a" den nedre grensen, og "b" kalles den øvre grensen. Som du kan se, er den definitive integral av en funksjon et tall.
I dette tilfellet dersom et bestemt integral av f (x) = 3x² beregnes i intervallet [0, 3], vil et tall bli oppnådd.
For å bestemme dette tallet velger vi F (x) = x³ som antivivative for f (x) = 3x². Deretter beregner vi F (3) -F (0) som gir oss resultatet 27-0 = 27. Til slutt er det bestemte integralet av f (x) i intervallet [0.3] 27.
Det kan fremheves at hvis G (x) = x³ + 3 er valgt, er G (x) et antivivativ av f (x) annet enn F (x), men dette påvirker ikke resultatet siden G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Av denne grunn vises ikke integrasjonskonstanten i de definerte integralene.
En av de mest nyttige applikasjonene som denne typen integral har, er at den gjør det mulig å beregne arealet (volum) av en flatt figur (med en revolusjonær gjenstand), etablering av egnede funksjoner og integrasjonsgrenser (og en rotasjonsakse).
Innenfor de definerte integralene finner vi ulike utvidelser av dette som for eksempel linjeintegraler, overflateintegraler, feil integraler, flere integraler, blant annet alle med svært nyttige anvendelser innen vitenskap og ingeniørfag.
