Potensiell gradient: Egenskaper, Hvordan beregne det og Eksempel

Den potensielle gradienten er en vektor som representerer forandringsforholdet til det elektriske potensialet med hensyn til avstanden i hver akse av et kartesisk koordinatsystem. Den potensielle gradientvektoren indikerer således retningen i hvilken endringshastigheten for det elektriske potensialet er større, som en funksjon av avstanden.

I sin tur gjenspeiler den potensielle gradientmodulen endringshastigheten for den elektriske potensielle variasjonen i en bestemt retning. Hvis verdien av dette er kjent ved hvert punkt i en romlig region, kan det elektriske felt oppnås fra den potensielle gradienten.

Det elektriske feltet er definert som en vektor, som den har en bestemt retning og størrelse. Ved å bestemme retningen der det elektriske potensialet avtar raskere, bort fra referansepunktet og dividere denne verdien med avstanden som tilbys, oppnås størrelsen på det elektriske feltet.

funksjoner

Den potensielle gradienten er en vektor avgrenset av spesifikke romlige koordinater, som måler endringsforholdet mellom det elektriske potensialet og avstanden som tilbys av potensialet.

De mest fremragende egenskapene til den elektriske potensialgradienten er beskrevet nedenfor:

1- Den potensielle gradienten er en vektor. Derfor har den en bestemt størrelse og retning.

2- Siden den potensielle gradienten er en vektor i rommet, har den størrelsesorden adressert i X (bredde), Y (høy) og Z (dybde) aksene, dersom kartesisk koordinatsystem er tatt som referanse.

3- Denne vektoren er vinkelrett på ekvipotensial overflate ved det punkt som det elektriske potensialet blir evaluert.

4- Den potensielle gradientvektoren er rettet mot retningen for maksimal variasjon av den elektriske potensialfunksjonen til enhver tid.

5- Modulen av den potensielle gradienten er lik den som er avledet fra den elektriske potensialfunksjonen med hensyn til avstanden som er reist i retning av hver av aksene i det kartesiske koordinatsystemet.

6- Den potensielle gradienten har null verdi i de stasjonære punktene (maksimum, minimum og sadelpunkter).

7- I det internasjonale systemet for enheter (SI) er måleenhetene for den potensielle gradienten volt / meter.

8- Direksjonen til det elektriske feltet er det samme som det elektriske potensialet reduserer størrelsen raskere. I sin tur peker den potensielle gradienten i retningen der potensialet øker verdien i forhold til en endring av posisjon. Da har det elektriske feltet samme verdi av potensiell gradient, men med motsatt tegn.

Hvordan beregne det?

Den elektriske potensialforskjellen mellom to punkter (punkt 1 og punkt 2) er gitt ved følgende uttrykk:

der:

V1: elektrisk potensial i punkt 1.

V2: elektrisk potensial i punkt 2.

E: størrelsen på det elektriske feltet.

Ѳ: Vinkel hellingen til den elektriske feltvektoren målt i forhold til koordinatsystemet.

Ved å uttrykke nevnte formel på en differensiell måte, utledes følgende:

Faktoren E * cos (Ѳ) refererer til modulen til den elektriske feltkomponenten i retning av dl. La L være den horisontale aksen til referanseplanet, deretter cos (Ѳ) = 1, slik:

I det følgende er kvoten mellom variasjonen av elektrisk potensial (dV) og variasjonen i avstanden som er reist (ds), modulet for den potensielle gradienten for komponenten.

Det følger at størrelsen på den elektriske potensialgradienten er lik den elektriske feltkomponenten i studieretningen, men med motsatt tegn.

Imidlertid, siden det virkelige miljøet er tredimensjonalt, må den potensielle gradienten på et gitt punkt uttrykkes som summen av tre romlige komponenter på kartesian-systemets X-, Y- og Z-akser.

Ved å bryte ned det elektriske feltvektoren i sine tre rektangulære komponenter, har vi følgende:

Hvis det er en region i flyet der det elektriske potensialet har samme verdi, vil partiell derivat av denne parameteren i forhold til hver av de kartesiske koordinatene være null.

Dermed vil intensiteten i det elektriske feltet ha null størrelsesorden i punkter som er på ekvipotensiale overflater.

Endelig kan den potensielle gradientvektoren defineres som nøyaktig den samme elektriske feltvektoren (i størrelsesorden), med motsatt tegn. Dermed har vi følgende:

eksempel

Fra de ovennevnte beregningene må du:

Før du bestemmer det elektriske feltet som en funksjon av den potensielle gradienten, eller omvendt, må imidlertid først hvilken retning den elektriske potensialforskjellen vokser.

Deretter bestemmes kvotienten av variasjonen av det elektriske potensialet og variasjonen av netto avstanden som er reist.

På denne måten oppnås størrelsen på det tilhørende elektriske feltet, hvilket er lik størrelsen på den potensielle gradienten i den koordinaten.

trening

Det er to parallelle plater, som reflektert i den følgende figuren.

Trinn 1

Vektningsveksten til det elektriske feltet på det kartesiske koordinatsystemet bestemmes.

Det elektriske feltet vokser kun i horisontal retning, gitt arrangementet av parallellplater. Det er derfor mulig å utlede at komponentene i den potensielle gradienten på Y-aksen og Z-aksen er null.

Trinn 2

Dataene av interesse er diskriminert.

- Potensiell forskjell: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.

- Forskjell i avstand: dx = 10 centimeter.

For å garantere kongruensen til måleenhetene som brukes i henhold til International System of Units, må mengdene som ikke er uttrykt i SI, konverteres tilsvarende. Dermed er 10 centimeter likt 0, 1 meter, og til slutt: dx = 0, 1 meter.

Trinn 3

Størrelsen på den potensielle gradientvektoren beregnes som passende.