Multiplikativ Prinsipp: Telle Teknikker og Eksempler
Multiplikasjonsprinsippet er en teknikk som brukes til å løse telleproblemer for å finne løsningen uten at det er nødvendig å liste opp elementene. Det er også kjent som det grunnleggende prinsippet om kombinatorisk analyse; den er basert på suksessiv multiplikasjon for å bestemme hvordan en hendelse kan oppstå.
Dette prinsippet fastslår at dersom en beslutning (d 1 ) kan tas på n veier og en annen beslutning (d 2 ) kan tas på m måter, kan det totale antall måter som beslutninger kan gjøres d 1 og d 2 være like å multiplisere fra n * m. I henhold til prinsippet blir hver avgjørelse laget en etter en: Antall måter = N 1 * N 2 ... * N x måter.
eksempler
Eksempel 1
Paula planlegger å gå på kino med vennene sine, og å velge klærne hun skal ha, skiller jeg 3 bluser og 2 skjørt. Hvor mange måter kan Paula kle seg?
oppløsning
I dette tilfellet må Paula ta to avgjørelser:
d 1 = Velg mellom 3 bluser = n
d 2 = Velg mellom 2 skjørt = m
På den måten har Paula n * m beslutninger om å lage eller forskjellige klær.
n * m = 3 * 2 = 6 beslutninger.
Multiplikasjonsprinsippet kommer fra teknikken til trediagrammet, som er et diagram som relaterer alle mulige utfall, slik at hver kan oppstå et begrenset antall ganger.
Eksempel 2
Mario var veldig tørst, så han gikk til bakeriet for å kjøpe en juice. Luis svarer på ham og forteller ham at han har to størrelser: stort og lite; og fire smaker: eple, appelsin, sitron og drue. Hvor mange måter kan Mario velge juice?
oppløsning
I diagrammet kan man se at Mario har 8 forskjellige måter å velge juice på, og som i multiplikasjonsprinsippet, oppnås dette resultatet ved multiplikasjon av n * m. Den eneste forskjellen er at gjennom dette diagrammet kan du vite hvordan er måtene som Mario velger juice på.
På den annen side, når antall mulige resultater er svært store, er det mer praktisk å bruke multiplikasjonsprinsippet.
Counting teknikker
Counting teknikker er metoder som brukes til å lage en direkte telling, og dermed vet antall mulige arrangementer som elementene i et gitt sett kan ha. Disse teknikkene er basert på flere prinsipper:
Prinsipp for tillegg
Dette prinsippet fastslår at hvis to m- og n-hendelser ikke kan forekomme samtidig, kan antallet av måter som første eller andre hendelsen oppstår være summen av m + n:
Antall skjemaer = m + n ... + x forskjellige former.
eksempel
Antonio ønsker å ta en tur, men bestemmer ikke til hvilket reisemål; På South Tourism Agency tilbyr de deg en kampanje for å reise til New York eller Las Vegas, mens East Tourism Agency anbefaler deg å reise til Frankrike, Italia eller Spania. Hvor mange forskjellige reisevalg tilbyr Antonio deg?
oppløsning
Med South Tourism Agency har Antonio 2 alternativer (New York eller Las Vegas), mens med East Tourism Agency har 3 alternativer (Frankrike, Italia eller Spania). Antall forskjellige alternativer er:
Antall alternativer = m + n = 2 + 3 = 5 alternativer.
Prinsipp for permutasjon
Det handler om å bestille spesielt alle eller noen av elementene som utgjør et sett, for å lette tellingen av alle mulige arrangementer som kan gjøres med elementene.
Antall permutasjoner av n forskjellige elementer, tatt alt på en gang, er representert som:
n P n = n!
eksempel
Fire venner vil ta et bilde og vil vite hvor mange forskjellige former som kan bestilles.
oppløsning
Du vil vite settet med alle mulige måter hvor de 4 personene kan plasseres for å ta bildet. Så må du:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskjellige former.
Hvis antall permutasjoner av n tilgjengelige elementer tas av deler av et sett som er dannet av r-elementer, er det representert som:
n P r = n! ÷ (n - r)!
eksempel
I et klasseromsrom er det 10 stillinger. Hvis 4 studenter deltar i klassen, på hvor mange måter kan elevene okkupere stillingene?
oppløsning
Det totale antall sett av stoler er 10, og bare 4 av disse blir brukt. Den gitte formelen brukes for å bestemme antall permutasjoner:
n P r = n! ÷ (n - r)!
10 p 4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10 p 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 måter å fylle posisjonene på.
Det er tilfeller der noen av de tilgjengelige elementene i et sett gjentas (de er de samme). For å beregne antall ordninger som tar alle elementene på en gang, brukes følgende formel:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !
eksempel
Hvor mange forskjellige ord med fire bokstaver kan dannes fra ordet "ulv"?
oppløsning
I dette tilfellet har vi 4 elementer (bokstaver), hvorav to er nøyaktig de samme. Ved å bruke den angitte formelen vet vi hvor mange forskjellige ord er:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !
4P2 , 1, 1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 forskjellige ord.
Kombinasjonsprinsipp
Det handler om å fikse alle eller noen av elementene som danner et sett uten en bestemt rekkefølge. For eksempel, hvis du har et XYZ-array, vil det være identisk med ZXY, YZX, ZYX-arrayene, blant andre; Dette skyldes at til tross for ikke å være i samme rekkefølge, er elementene i hvert arrangement det samme.
Når noen elementer (r) av settet (n) blir tatt, er kombinasjonsprinsippet gitt ved følgende formel:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
eksempel
I en butikk selger de 5 forskjellige typer sjokolade. Hvor mange forskjellige måter kan du velge 4 sjokolade?
oppløsning
I dette tilfellet må du velge 4 sjokolade av de 5 typene som selges i butikken. Ordren der de er valgt, spiller ingen rolle, og i tillegg kan en type sjokolade velges mer enn to ganger. Bruk av formelen, du må:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
5 C 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 forskjellige måter å velge 4 sjokolade på.
Når alle elementene (r) av settet (n) er tatt, er kombinasjonsprinsippet gitt ved følgende formel:
n C n = n!
Løste oppgaver
Øvelse 1
Du har et baseballlag med 14 medlemmer. På hvor mange måter kan 5 stillinger bli tildelt for et spill?
oppløsning
Settet består av 14 elementer, og du vil tildele 5 spesifikke stillinger; det vil si at ordren er viktig. Permutasjonsformelen blir brukt der n tilgjengelige elementer tas av deler av et sett som dannes av r.
n P r = n! ÷ (n - r)!
Hvor n = 14 og r = 5. Det er substituert i formelen:
14 p 5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14 p 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240 240 måter å tildele 9 posisjoner av spillet.
Øvelse 2
Hvis en familie med 9 medlemmer går på tur og kjøper billetter med sammenhengende seter, hvor mange forskjellige måter kan de sitte?
oppløsning
Den består av 9 elementer som vil okkupert 9 plasser i ettertid.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 forskjellige måter å sitte på.