Rektangulære komponenter av en vektor (med øvelser)

De rektangulære komponentene til en vektor er dataene som utgjør denne vektoren. For å bestemme dem, er det nødvendig å ha et koordinatsystem, som vanligvis er det kartesiske flyet.

Når du har en vektor i et koordinatsystem, kan du beregne dets komponenter. Disse er 2, en horisontal komponent (parallelt med X-aksen), kalt "komponent på X-aksen", og en vertikal komponent (parallelt med Y-aksen), kalt "komponent på Y-aksen".

For å bestemme komponentene er det nødvendig å kjenne visse vektordata, for eksempel størrelsen og vinkelen den danner med X-aksen.

Hvordan bestemme de rektangulære komponentene til en vektor?

For å bestemme disse komponentene må visse forhold mellom høyre trekanter og trigonometriske funksjoner være kjent.

I det følgende bildet kan du se dette forholdet.

Sinnet av en vinkel er lik kvoten mellom målingen av benet motsatt vinkelen og måling av hypotenusen.

På den annen side er cosinus av en vinkel lik kvoten mellom måling av beinet ved siden av vinkelen og måling av hypotenusen.

Vinkelen av en vinkel er lik kvoten mellom måling av motsatt ben og måling av det tilstøtende benet.

I alle disse relasjonene er det nødvendig å etablere den tilsvarende høyre trekant.

Er det andre metoder?

Ja. Avhengig av dataene som leveres, kan måten å beregne vektorens rektangulære komponenter variere. Et annet verktøy som brukes mye er Pythagorasetningen.

trening

I de følgende øvelsene blir definisjonen av de rektangulære komponentene av en vektor og de ovenfor beskrevne forhold i praksis.

Første øvelse

Det er kjent at en vektor A har en størrelse som er lik 12 og vinkelen som dette danner med X-aksen, har en måling på 30 °. Bestem de rektangulære komponentene til vektoren A.

oppløsning

Hvis bildet blir verdsatt og formlene beskrevet ovenfor, kan det konkluderes med at komponenten på Y-aksen av vektor A er lik med

synd (30 °) = Vy / 12, og derfor Vy = 12 * (1/2) = 6.

På den annen side har vi at komponenten på X-aksen av vektor A er lik

cos (30 °) = Vx / 12, og derfor Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Andre øvelse

Hvis vektor A har en størrelse lik 5 og komponenten på X-aksen er lik 4, bestem verdien av komponenten av A på y-aksen.

oppløsning

Ved hjelp av Pythagorasetningen har vi at størrelsen på vektor A som er kvadratisk, er lik summen av kvadrater av de to rektangulære komponentene. Det er, M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Ved å erstatte de oppgitte verdiene må du

5 ² = (4) ² + (Vy) ², derfor 25 = 16 + (Vy) ².

Dette innebærer at (Vy) ² = 9 og dermed Vy = 3.

Tredje øvelsen

Hvis vektor A har en størrelse lik 4, og dette danner en vinkel på 45 ° med X-aksen, bestemmer de rektangulære komponentene til vektoren.

oppløsning

Ved å bruke forholdene mellom en høyre trekant og de trigonometriske funksjonene, kan det konkluderes med at komponenten på Y-aksen av vektor A er lik

synd (45 °) = Vy / 4, og derfor Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

På den annen side har vi at komponenten på X-aksen av vektor A er lik

cos (45 °) = Vx / 4, og derfor Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.