Historisk bakgrunn for analytisk geometri

Den historiske bakgrunnen for analytisk geometri går tilbake til det syttende århundre, da Pierre de Fermat og René Descartes definerte sin grunnleggende ide. Hans oppfinnelse fulgte moderniseringen av algebra og den algebraiske notasjonen til François Viète.

Dette feltet har sine grunner i det antikke Hellas, spesielt i Apollonius og Euklid, som hadde stor innflytelse på dette området av matematikk.

Den grunnleggende ideen bak analytisk geometri er at forholdet mellom to variabler, slik at en er en funksjon av den andre, definerer en kurve.

Denne ideen ble utviklet for første gang av Pierre de Fermat. Takket være dette grunnleggende rammeverket var Isaac Newton og Gottfried Leibniz i stand til å utvikle beregningen.

Den franske filosofen Descartes oppdaget også en algebraisk tilnærming til geometri, tilsynelatende alene. Descartes arbeid på geometri fremgår av hans berømte bok Diskurs på metode .

I denne boken er det påpekt at kompasset og geometriske konstruksjoner av rette kanter innebærer tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og firkantede røtter.

Analytisk geometri representerer foreningen av to viktige tradisjoner i matematikk: geometri som studie av form, og aritmetikk og algebra, som har å gjøre med kvantum eller tall. Derfor er analytisk geometri studiet av geometriområdet ved hjelp av koordinatsystemer.

historie

Bakgrunn for analytisk geometri

Forholdet mellom geometri og algebra har utviklet seg gjennom matematikkhistorien, selv om geometri nådde en grad av modenhet tidligere.

For eksempel var den greske matematikeren Euclid i stand til å organisere mange resultater i sin klassiske bok The Elements .

Men det var den gamle greske Apollonius av Perga som forutslo utviklingen av analytisk geometri i boken Conics . Han definerte en konisk som skjæringspunktet mellom en kjegle og et fly.

Ved å bruke resultatene av Euclid i lignende trekanter og sirkeltørking fant han et forhold gitt av avstandene fra hvilket som helst punkt "P" av en konisk til to vinkelrette linjer, hovedaksen til en konisk og tangenten ved et siste punkt på aksen. Apollonius brukte dette forholdet til å utlede grunnleggende egenskaper av conics.

Den etterfølgende utviklingen av koordinatsystemene i matematikk dukket opp først etter at algebraet hadde blitt modnet takket være islamske og indiske matematikere.

Inntil renessans geometri ble brukt til å rettferdiggjøre løsninger på algebraiske problemer, men det var ikke mye at algebra kunne bidra til geometri.

Denne situasjonen vil endres ved å vedta en praktisk notering for algebraiske relasjoner og utviklingen av begrepet matematisk funksjon, som nå var mulig.

XVI Century

På slutten av sekstende århundre presenterte den franske matematikeren François Viète den første systematiske algebraiske notasjonen, ved hjelp av bokstaver for å representere numeriske mengder, både kjent og ukjente.

Han utviklet også kraftige generelle metoder for å arbeide algebraiske uttrykk og løse algebraiske ligninger.

Takket være dette var matematikere ikke helt avhengige av geometriske figurer og geometrisk intuisjon for å løse problemer.

Selv noen matematikere begynte å forlate den standard geometriske tenkemåten, ifølge hvilken de lineære variablene av lengder og firkanter svarer til områder, mens kubikken svarer til volumene.

Den første som tok dette trinnet var filosofen og matematikeren René Descartes, og advokaten og matematikeren Pierre de Fermat.

Stiftelse av analytisk geometri

Descartes og Fermat grunnla uavhengig analytisk geometri i løpet av 1630-tallet ved å vedta Viète-algebraet for studiet av lokus.

Disse matematikerne innså at algebra var et verktøy med stor makt i geometri og oppfunnet det som nå kalles analytisk geometri.

Et forhånd de gjorde var å overvinne Viète ved å bruke bokstaver for å representere avstander som er variable i stedet for faste.

Descartes brukte likninger til å studere geometrisk definerte kurver og markerte behovet for å vurdere de generelle algebraisk-grafiske kurver av polynomekvasjoner i graderne "x" og "y".

For sin del understreget Fermat at ethvert forhold mellom koordinatene "x" og "og" bestemmer en kurve.

Ved å bruke disse ideene, omstrukturerte han Apollonius 'uttalelser om algebraiske termer og gjenopprettede noen av hans verk som ble tapt.

Fermat indikerte at en hvilken som helst kvadratisk ligning i "x" og "y" kan plasseres i standardformen til en av konisk seksjoner. Til tross for dette har Fermat aldri publisert sitt arbeid på emnet.

Takket være fremskrittene, hva Archimedes kunne bare løse med store vanskeligheter og for isolerte tilfeller, kunne Fermat og Descartes løse det raskt og for et stort antall kurver (nå kjent som algebraiske kurver).

Men hans ideer fikk bare generell aksept gjennom andre matematikers innsats i siste halvdel av det syttende århundre.

Matematikerne Frans van Schooten, Florimond de Beaune og Johan de Witt bidro til å utvide Decartes arbeid og legge til viktig tilleggsmateriale.

innflytelse

I England populariserte John Wallis analytisk geometri. Han brukte likninger til å definere konjellene og utlede sine egenskaper. Selv om han brukte negative koordinater fritt, var det Isaac Newton som brukte to skrå akse for å dele flyet inn i fire kvadranter.

Newton og tysk Gottfried Leibniz revolusjonerte matematikk i slutten av det syttende århundre ved å selvstendig demonstrere beregningskraften.

Newton demonstrerte betydningen av analytiske metoder i geometri og dens rolle i kalkulator, da han hevdet at en hvilken som helst kube (eller en hvilken som helst tredjegrads algebraisk kurve) har tre eller fire standardekvasjoner for passende koordinatakser. Med hjelp av Newton selv testet den skotske matematikeren John Stirling den i 1717.

Analytisk geometri med tre og flere dimensjoner

Selv om både Descartes og Fermat foreslo å bruke tre koordinater for å studere kurver og overflater i rommet, utviklet tredimensjonal analytisk geometri sakte frem til 1730.

Matematikerne Euler, Hermann og Clairaut produserte generelle ligninger for sylindere, kegler og revolveringsflater.

For eksempel brukte Euler ligninger for oversettelser i rom for å transformere den generelle kvadratiske overflaten, slik at dens hovedakser falt sammen med koordinataksene.

Euler, Joseph-Louis Lagrange og Gaspard Monge gjorde analytisk geometri uavhengig av syntetisk (ikke-analytisk) geometri.